Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Определенные интегралыЗадачи, приводящие к понятию определенного интеграла Основным понятием интегрального исчисления является все же не понятие неопределенного интеграла, а понятие интеграла определенного. Оно существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого понятия. I. Задача о массе стержня Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднородного же стержня истинная плотность p меняется от точки к точке. Если определять положение каждой точки M стержня с помощью расстояния x ее от одного из концов стержня (см. рис. 1), то его плотность p в точке x будет функцией от x, p = p(x). Поставим задачу, как, зная эту функцию и длину l стержня, найти его массу m.
При решении этой задачи будем считать плотность p(x) непрерывной функцией. Переходя к решению, разделим стержень точками x1 < x2 < ... < xn-1 (0 < xk < l) на n небольших участков (см. рис. 2).
Для единообразия обозначений положим еще x0 = 0, xn = l, и пусть λ есть наибольшая из разностей xk+1 - xk. Отдельный участок [xk, xk+1] стержня приближенно можно считать однородным [т. к. из-за его малости (непрерывная) функция p(x) не успевает на нем сколько-нибудь заметно измениться]. Делая такое допущение, мы тем самым принимаем плотность p(x) на участке [xk, xk+1] за постоянную. Пусть значение этой постоянной есть p(ξk), где ξk есть произвольно выбранная точка участка [xk, xk+1]. Тогда масса участка [xk, xk+1] будет равна p(ξk)(xk+1 - xk), а полная масса стержня будет
Полученное выражение массы является, однако, лишь приближенным, т. к. на самом деле отдельные участки стержня не однородны. Тем не менее, чем короче эти участки, т. е. чем меньше число λ, тем более точным будет найденное выражение m. Отсюда следует, что точное значение массы таково:
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27- |
(1)