решения некоторых задач

Тройные и n-кратные интегралы

     Изложенная теория двойного интеграла без каких-либо осложнений и новых идей переносится на случай тройного и вообще n-кратного интеграла. Остановимся на основных моментах теории n-кратного интеграла.

     Прежде всего договоримся считать, что объем n-мерного прямоугольного параллелепипеда по определению равен произведению длин всех его ребер, выходящих из одной вершины.

     Далее договоримся называть элементарным телом множество точек n-мерного пространства, представляющее собой сумму конечного числа n-мерных прямоугольных параллелепипедов, не имеющих общих внутренних точек и имеющих ребра, параллельные осям координат.

     Объем любого элементарного тела нам известен и равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов.

     Пусть теперь D - произвольная ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве. Назовем нижним объемом области D точную верхнюю грань объемов всех содержащихся в D элементарных тел, а верхним объемом области D - точную нижнюю грань объемов всех элементарных тел, содержащих область D.

     Легко убедиться в том, что ^*.

     Область D называется кубируемой, если . При этом число называется n-мерным объемом области D.

     В полной аналогии со случаем плоской области доказывается следующее утверждение.

     Для того чтобы n-мерная область D была кубируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε нашлись два элементарных тела, одно из которых содержит D, а другое содержится в D, разность объемов которых по модулю меньше числа ε.

     Поверхностью (или многообразием) n-мерного объема нуль будем называть замкнутое множество, все точки которого принадлежат элементарному телу как угодно малого n-мерного объема.

     Очевидно, что n-мерная область D кубируема тогда и только тогда, когда граница этой области представляет собой многообразие n-мерного объема нуль.

     Сначала n-кратный интеграл от функции n переменных f(x₁, x₂, ..., x_n) определяется в n-мерном прямоугольном параллелепипеде R, ребра которого параллельны осям координат.

     С этой целью производим разбиение каждого из n ребер параллелепипеда R на конечное число частичных сегментов и таким путем получаем разбиение T параллелепипеда R на конечное число частичных n-мерных параллелепипедов^**.

     Для указанного разбиения T в полной аналогии со случаем n = 2 определяются интегральная, верхняя и нижняя суммы любой ограниченной функции f(x₁, x₂, ..., x_n).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-

^*   Неравенство доказывается точно так же, как неравенство в пункте Понятие квадрируемости плоской фигуры.

^**   Можно сказать, что разбиение T осуществляется с помощью конечного числа (n-1)-мерных гиперплоскостей, параллельных координатным осям.