решения некоторых задач

     Надо заметить, однако, что многие интегралы, не выражающиеся через элементарные функции, весьма важны для решения самых разнообразных вопросов. Так, например, интеграл играет важную роль в теории вероятностей. В теории диффракции света встречаются интегралы

которые не могут быть выражены через элементарные функции. В исследованиях П. Л. Чебышева по распределению простых чисел существенное значение имеет интеграл .

     В свете высказанных соображений приобретает интерес вопрос о выделении таких частных классов элементарных функций, интегралы от которых также выражаются через элементарные функции. Приведем важную теорему, относящуюся к этому вопросу:

     Теорема. Интеграл от любой рациональной функции

     (5)

с действительными коэффициентами a_i и b_k выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.

     В самом деле, в алгебре устанавливается, что любая функция вида (5) (с действительными a_i и b_k) представима в форме суммы конечного числа слагаемых следующих 5 типов:

     1) A₀x^r + A₀x^r-1 + ... + A_r,

     2)

     3)

     4)

     5)

где все коэффициенты также действительны, а корни трехчлена x² + px + q - мнимые.

     Что касается выражений 1), 2) и 3), то их интегрирование в элементарных функциях выполняется по формулам

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-