решения некоторых задач

     Чтобы разобраться в этом вопросе, следует прежде всего указать на то, что причисление какой-либо функции к классу "элементарных" функций есть вещь довольно условная. В конечном счете ассортимент функций, которые в настоящее время принято называть элементарными, сложился в значительной степени под влиянием исторического хода развития математики не только как науки, но и (пожалуй, даже в большей степени) как учебного предмета.

     Попробуем представить себе, как обстояло бы дело, если бы историческое развитие шло по-иному, и функция ln x не считалась бы элементарной. Ясно, что и при этом воображаемом положении рациональную функцию все же относили бы к разряду функций элементарных. И тогда интеграл

     (3)

оказался бы интегралом от элементарной функции, не выражающимся через элементарные.

     Таким образом, видим, что проблема представления того или иного интеграла через элементарные фунции получает точный смысл лишь при указании того, какие именно функции приняты за таковые. Расширяя запас элементарных функций, можем интеграл, не выражающийся через (старые) элементарные функции, превратить в выражающийся через (новые) элементарные функции. В приведенном только что примере достаточно ввести элементарную функцию ln x, чтобы интеграл (3) выразился через нее.

     Однако, встречаясь с тем или иным интегралом, не выражающимся через элементарные функции, не расширяют запаса элементарных функций. В самом деле, снова возвращаясь к нашему примеру, видим, что, не включая ln x в число элементарных функций, мы не будем и интеграл

     (4)

считать интегралом от элементарной функции. Расширив запас элементарных функций за счет введения функции ln x, мы действительно будем в состоянии найти интеграл (3), но зато у нас появится интеграл (4), для выражения которого потребуется новое расширение класса элементарных функций. Таким образом, путь неограниченного расширения класса элементарных функций оказывается не приводящим к цели. В то же время сколько-нибудь значительное расширение класса элементарных функций связано с рядом неудобств. Тот исторически сложившийся класс элементарных функций, с которым имеет дело современный анализ, весьма удобен именно потому, что он не велик и многочисленные вычислительные формулы, связывающие функции этого класса, как, например, формулы

sin²x + cos²x = 1,   sin(x + y) = sin x cos x + sin y cos x,

и т. п., легко запоминаются и известны уже выпускникам средней школы.

решения некоторых задач

^*   Этот дифференциал есть "часть подинтегрального выражения. Отсюда и термин "интегрирование по частям".

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-