решения некоторых задач

     Обратимся к примерам.

     1) .

     Так как функция ln x упрощается от дифференцирования, то полагаем

     Функция найдена с помощью интегрирования^* ее дифференциала x³dx. Имея в виду применить тождественное преобразование (1), мы не вводим при нахождении v произовольной постоянной, т. к. при написании тождества (1) под v можем разуметь какую угодно определенную первообразную для dv. Это следует иметь в виду и в дальнейшем.

     Таким образом,

     2) .

     3) .

     3) .

     Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций

     Ранее уже отмечалось, что у всякой непрерывной функции f(x) имеется первообразная функция. Это обстоятельство следует сопоставить с тем, что существуют непрерывные функции, не имеющие производной.

     Таким образом, если заниматься лишь вопросами существования у данной непрерывной функции первообразной и производной, то первый из этих вопросов решается всегда положительно, а второй - нет.

     Иным окажется положение вещей, если мы будем рассматривать одни только элементарные функции и поставим вопрос о выражении их первообразных и производных снова через такие же функции. Именно, как мы уже знаем, всякая функция, являющаяся конечной комбинацией элементарных функций, не только обязательно имеет производную, но эта производная сама также есть конечная комбинация элементарных функций. По отношению к проблеме интегрирования дело обстоит совсем не так. Существуют очень простые элементарные функции, первообразные которых уже не выражаются никакой конечной комбинацией элементарных функций.

     Так, например, можно доказать, что ни один из интегралов

     (2)

не выражается конечным числом элементарных функций.

решения некоторых задач

^*   Этот дифференциал есть "часть подинтегрального выражения. Отсюда и термин "интегрирование по частям".

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-