решения некоторых задач

     Второе правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

полагаем x = φ(t), где φ(t) - дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию ψ(x). Вычислив полученный интеграл, заменим в нем t через ψ(x), что и приводит к значению искомого интеграла I.

     Приведем два примера.

     Пример 1. Пусть . Положим x = sin t. Это приводит к интегралу

Значит,

     Пример 2. . Положим x = t². Тогда

     Интегрирование по частям

     Другим довольно общим приемом преобразования интеграла является так называемое "интегрирование по частям".

     Пусть u = u(x) и v = v(x) суть две дифференцируемые функции, заданные на одном и том же промежутке [a, b]. Тогда на этом промежутке будет

(uv)' = u'v + uv'.

     Последнее равенство можно переписать в равносильной форме

     Отсюда, замечая, что u'dx = du,  v'dx = dv, получаем:

     (1)

причем произвольная постоянная, находившаяся в правой части, включена в интеграл . Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Она представляет собой некое тождественное преобразование одного интеграла в другой. Если новый интеграл проще исходного, то формулу применять целесообразно.

     Всматриваясь в строение формулы (1), замечаем, что для ее применения к какому-либо интегралу надо подинтегральное выражение представить в форме произведения u dv некоторой функции u на дифференциал другой функции dv. В результате же применения формулы (1) у нас появится интеграл от функции v, умноженной на дифференциал du. Иначе говоря, преобразование по формуле (1) состоит в интегрировании одного множителя dv и одновременном дифференцировании другого u. Вообще говоря, каждая из этих операций может привести к упрощению рассматриваемого интеграла, но чаще все же это упрощение достигается за счет дифференцирования множителя u. Поэтому некоторым указанием на целесообразность интегрирования по частям может служить наличие в составе подинтегральной функции такого множителя, который упрощается от дифференцирования. Этот множитель и следует принять за u, обозначив произведение остальных сомножителей подинтегрального выражения (включая dx!) через dv.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-