решения некоторых задач

     Точно так же из формулы

следует, что

и т. д.

     Остановимся теперь на другой форме замены переменной. Пусть f(x) - непрерывная функция, заданная на каком-нибудь промежутке [a, b]. Допустим, что x = φ(t) есть функция, заданная на другом промежутке [α, β], имеющая там производную φ'(t) и удовлетворяющая неравенствам a ≤ φ(t) ≤ b. Пусть, кроме того, существует обратная функция t = ψ(x), заданная на [a, b]. Рассмотрим интеграл

     Согласно сказанному выше для нахождения этого интеграла нужно переписать его в форме

и заменить φ(t) через x, что приведет нас к интегралу

     Этот последний интеграл заведомо существует (т. к. f(x), будучи непрерывной, имеет первообразную). Пусть

     Тогда, применяя 1-е правило подстановки к интегралу I₁, получим:

I₁ = A[φ(t)] + C.

     Пусть A[φ(t)] = F(t). Заменяя здесь t через ψ(t) и замечая, что φ[ψ(t)] = x, находим:

A(x) = F[ψ(t)].

     Отсюда вытекает, что

     Если еще заметить, что F(t) есть не что иное, как A[φ(t)], т. е. первообразная для f[φ(t)]φ'(t), то сможем формулировать

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-