решения некоторых задач

     Интегрирование с помощью подстановки

     Чрезвычайно сильным методом приведения интеграла к табличной форме является метод подстановки или замены переменной. Он применяется в двух различных формах, каждая из которых основана на следующей теореме:

     Теорема. Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке [p, q] первообразная функция для функции f(z). Если φ(x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [a, b] и удовлетворяющая неравенствам p ≤ φ(x) ≤ q, то сложная функция F[φ(x)] будет первообразной для функции f[φ(x)]φ'(x).

     В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F[φ(x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ(x). Тогда y = F(z), z = φ(x) и . Так как F'(z) = f(z), то , чем и доказана теорема.

     Доказанную теорему можно формулировать и так: если

то

Отсюда следует

     Первое правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

записывая его в форме

заменяем здесь φ(x) на z, вычисляем полученный интеграл и в найденном ответе производим обратную замену z на φ(x).

     Приведем несколько примеров:

     1)

     2)

     3)

Видим, что одна и та же табличная формула

позволяет находить бесчисленное множество разнообразных интегралов.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-