решения некоторых задач

     Не будем проводить проверки формул вышеприведенной таблицы, а лишь отметим те промежутки изменения x, в которых справедлива та или иная из этих формул.

     Формулы 1, 4, 5, 6, 7, 11 справедливы на всей оси.

     Формула 2 справедлива в тех промежутках, в которых имеют смысл обе ее части. Например формула

верна в (0, +∞), формула

верна в (-∞, +∞) и т. п.

     Формула 3 верна в (0, +∞). Если же , то вместо формулы 3 надо писать

     Формула 8 верна в любом промежутке, не содержащем точек вида , а формула 9 - в любом промежутке, не содержащем точек nπ.

     Формула 10 верна в (-a, +a). Наконец, формула 12 верна в каждом из промежутков (-∞, -|a|) и (|a|, +∞).

     Интегралы от более сложных элементарных функций стараются свести к вышеприведенным "табличным интегралам". Для этого существует целый ряд разнообразных приемов. Простейшие из этих приемов состоят в применении двух следующих предложений:

     Теорема 3. Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т. е.

     (**)

     Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

     Проверим хотя бы формулу (**). Согласно правилу, высказанному выше, для этого надо продифференцировать правую часть этой формулы. Так как производная суммы равна сумме производных слагаемых, то надо дифференцировать по отдельности слагаемые правой части формулы (**). Применяя теорему 2, легко убеждаемся, что искомая производная есть f(x) + g(x) - h(x), т. е. совпадает с подинтегральной функцией левой части. Аналогично доказывается и теорема 4.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-