Отметим, что функция

не суммируема на интервале (0, 1), несмотря на то, что несобственный интеграл Римана

существует.

     Для каждого конечного или счетного множества попарно непересекающихся измеримых множеств S₁, S₂, ...

если интегралы существуют. Интеграл Лебега по любому множеству (лебеговой) меры нуль равен нулю.

     Замечание. Лебеговское интегрирование применимо к более общему классу функций, чем римановское интегрирование, и упрощает формулировки многих теорем. Многие теоремы, высказанные в терминах интеграла Лебега, непосредственно применимы к абсолютно сходящимся несобственным интегралам Римана.

     Если последовательность функций s₀(x), s₁(x), s₂(x), ..., каждая из которых ограничена и интегрируема в смысле Римана на ограниченном интервале [a, b], равномерно сходится на [a, b] к функции s(x), то предел существует и равен интегралу .

     Следующая более общая теорема формулируется специально для интеграла Лебега: пусть s₀(x), s₁(x), s₂(x), ... и неотрицательная функция сравнения A(x) суммируемы на измеримом множестве S, и пусть при всех n и при почти всех . Тогда из того, что для почти всех , следует, что предел существует и равен (теорема сходимости Лебега).

-1-2-3-4-5-