Функция f(x), определенная на интервале [a, b] (функция f(x) может быть определена на [a, b] не всюду, а лишь почти всюду), измерима на [a, b], если для каждого действительного числа c множество точек x интервала [a, b], в которых , измеримо.

     В этом определении условие можно заменить любым из условий .

     Функция, непрерывная на [a, b], измерима на [a, b]. Если на [a, b] измеримы функции f₁(x), f₂(x), ..., то на [a, b] измеримы и функции , а также и , если этот предел на [a, b] существует (и даже если этот предел существует на [a, b] лишь почти всюду).

     Аналогичные определения и теоремы справедливы и для измеримых функций f(x₁, x₂, ..., x_n), определенных на пространстве точек (x₁, x₂, ..., x_n), допускающем определение меры Лебега.

Интеграл Лебега

     Пусть действительная функция y = f(x) измерима и ограничена на ограниченном интервале [a, b] и A и B - соответственно ее нижняя и верхняя точные границы. Разобъем интервал [A, B], содержащий множество значений функции f(x) на [a, b], на n частей:

A = y₀ < y₁ < y₂ < ... < y_n = B,

и обозначим через S_i множество точек x интервала [a, b], в которых . Составим две суммы (интегральные суммы Лебега):

и .

     Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же пределу, не зависящему от выбора значений y_i, если только наибольшая из разностей y_i - y_i-1 стремится к нулю. Число

есть определенный интеграл от функции f(x) по интервалу [a, b] в смысле Лебега (интеграл Лебега).

-1-2-3-4-5-