Измеримые функции. Мера Лебега и интеграл Лебега

     Внешняя мера Лебега m_e(S) произвольного ограниченного точечного множества S на прямой есть точная нижняя граница суммы длин конечного или счетного множества интервалов, покрывающих S. Внутренняя мера Лебега m_i[S] множества S есть разность между длиной b - a любого ограниченного интервала [a, b], содержащего S, и внешней мерой дополнения множества S до [a, b]. S есть измеримое множество с мерой Лебега m[S], если m_e[S] = m_i[S] = m[S] (конструктивное определение меры Лебега). Неограниченное множество S на прямой измеримо, если для всех X > 0 измеримо пересечение . При этих предположениях по определению полагают

мера m[S] может быть как конечной, так и бесконечной.

     Рассматривают и более общее определение: мера M[S], определенная на подходящем классе (вполне аддитивной булевой алгебре) точечных множеств S, есть функция множества со свойствами

и для каждого конечного или счетного множества попарно непересекающихся точечных множеств S₁, S₂, ...

Мера Лебега m[S] точечного множества на прямой обладает дополнительным свойством

m[(a, b)] = b - a

для каждого ограниченного интервала (a, b); таким образом, мера Лебега является обобщением длины интервала (аксиоматическое определение меры Лебега).

     Мера Лебега точечных множеств в пространствах двух, трех, ... измерений определяется (либо конструктивно, либо аксиоматически) с помощью аналогичных обобщений площади и объема.

     Каждое ограниченное открытое множество измеримо. Можно высказать более общие утверждения. Борелевское множество на прямой есть множество, полученное посредством конечной или счетной последовательности объединений, пересечений и/или взятия дополнений интервалов и получающихся в результате комбинаций. Класс борелевских множеств есть вполне аддитивная булева алгебра измеримых множеств. Каждое измеримое множество есть объединение некоторого борелевского множества и множества лебеговой меры нуль. Каждое конечное или счетное множество измеримо и имеет лебегову меру нуль. Аналогичные теоремы справедливы и в многомерном случае.

     Если какое-либо свойство выполняется для каждой точки данного интервала, области или множества, исключая, быть может, лишь множество лебеговой меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном интервале, области или множестве почти всюду (или почти во всех точках этого интервала и т. д.).

-1-2-3-4-5-