Медиана обладает следующим важным свойством.

     Сумма модулей отклонений вариант признака от медианы не больше суммы модулей отклонений от любого другого числа:

     В случае нечеткого объема совокупности n = 2l + 1 при a ≠ Me имеет место строгое неравенство, а в случае четного n = 2l равенство имеет место для любого значения a, находящегося между двумя средними значениями x_l и x_l+1 и только при этих значениях.

     Докажем это утверждение.

     Пусть x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n - упорядоченный набор данных. Рассмотрим сначала случай, когда n - нечетное число, n = 2l + 1. Заметим, что из неравенства треугольника вытекает, что для любых трех чисел x, x₁, x₂ выполняется неравенство |x - x₁| + |x - x₂| ≥ |x₂ - x₁|, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x₁ ≤ x ≤ x₂. Поэтому для произвольного числа a имеем

|a - x₁| + |a - x₂| + ... + |a - x_2l| + |a - x_2l+1| = (|a - x₁| + |a - x_2l+1|) + (|a - x₂| + |a - x_2l|) + ...

... + (|a - x_l| + |x - x_l+2|) + |a - x_l+1| ≥ |x₁ - x_2l+1| + |x₂ - x_2l| + ... + |x_l - x_l+2| + |a - x_l+1|.

     Так как медиана Me = x_l+1 находится между каждой парой значений x₁ и x_2l+1, x₂ и x_2l, ..., x_l и x_l+2, то при a = x_l+1 предыдущее неравенство обращается в равенство. Если же a ≠ x_l+1, то будет иметь строгое неравенство. Итак, сумма |a - x₁| + |a - x₂| + ... + |a - x_2l| + |a - x_2l+1| принимает наименьшее значение при a = Me = x_l+1.

     Аналогично доказывается утверждение и в случае, когда имеется четное число значений n = 2l. При этом наименьшее значение сумма |a - x₁| + |a - x₂| + ... + |a - x_2l| принимает при любом значении a, лежащем между двумя средними значениями x_l и x_l+1, в частности при .

     Пример

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-