Двойные и n-кратные интегралы

     Задачи, приводящие к понятию двойного и тройного интеграла

     Задача о вычислении массы неоднородного тела T по известной объемной плотности ρ(M) этого тела естественным образом приводит нас к понятию тройного интеграла.

     Для вычисления массы указанного тела T разобьем его на достаточно малые участки T₁, T₂, ..., T_n. Приближенно можно считать объемную плотность ρ(M) каждого участка T_k постоянной и равной ρ(M_k), где M_k - некоторая точка участка T_k. В таком случае масса каждого участка T_k будет приближенно равна ρ(M_k) · v_k, где v_k - объем участка T_k.

     Приближенное значение массы всего тела T будет равно сумме

Точное значение массы естественно определить как предел указанной суммы при неограниченном уменьшении каждого участка T_k. Этот предел и может быть взят за определение тройного интеграла от функции ρ(M_k) по трехмерной области T.

     Совершенно аналогично может быть рассмотрена геометрическая задача о вычислении объема так называемого криводонного цилиндра (т. е. объема изображенного на рисунке тела, лежащего под графиком неотрицательной функции z = f(x, y) в некоторой двумерной области D). Эта задача приводит к понятию двойного интеграла от функции f(x, y) по двумерной области D.

     В данном разделе излагается теория двойных, тройных и вообще n-кратных интегралов.

     Для более эффективного использования аналогии с однократным интегралом сначала введем понятие двойного интеграла для прямоугольника, а лишь затем введем двойной интеграл по произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с помощью совершенно произвольного разбиения этой области.