Надо доказать, что любая другая прямая MN, проходящая через точку A, пересекается с прямой DD'. Из двух лучей AM, AN выберем тот, который с отрезком AC составляет острый угол; пусть это будет луч AN и пусть (как на Рис. 10) точки B и N лежат по одну сторону от прямой AC (в противном случае можно было бы поменять обозначения точек B и B'). Угол обозначим через α.

     Если мы установим существование луча AP, составляющего с лучом AB угол, меньший чем α, и пересекающего прямую DD', то станет ясно, что и луч AN должен пересечь прямую DD' (см. Рис. 11). Существование требуемого луча AP Лежандр устанавливает следующим образом.

     Отложим на луче CD отрезок CP₁ = CA (см. Рис. 12). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике ACP₁ каждый из углов равен (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 180°!). Отложим теперь на прямой CD отрезок P₁P₂ = P₁A. Тогда в равнобедренном треугольнике AP₁P₂ каждый из углов , как легко подсчитать, равен . Затем построим точку P₃ прямой CD (так, чтобы было AP₂ = P₂P₃) и т. д. В результате получим лучи AP₁AP₂AP₃, ..., каждый из которых пересекает прямую CD. При этом Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч AP_n (пересекающий прямую DD'), для которого . Этим и завершается доказательство теоремы.

     Как известно, из V постулата (или из аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение "сумма углов треугольника равна 180°" эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-