По теореме 1, сумма углов каждого из треугольников ABC₁ и AC₁C не больше 180°; если хотя бы у одного из них сумма углов была бы меньше 180°, то и сумма углов прямоугольного треугольника ABC (получающаяся, если из суммы всех углов треугольников ABC₁ и ACC₁ вычесть 180°) была бы меньше 180°, что противоречит сделанному предположению. Поэтому сумма углов треугольника ABC₁ также равна 180°. Отсюда, в точности так же как выше, заключаем, что в каждом из треугольников A₁BC₁ и A₁AC₁ сумма углов равна 180°.

     Теперь уже нетрудно доказать теорему 2. Пусть сумма углов некоторого треугольника ABC равна 180°. Опустив на его большую сторону высоту BD, разобъем его на два прямоугольных треугольника ABD и CBD (см. Рис. 9, а).

Сумма углов каждого из треугольников ABD, CBD также равна 180° (т. к. если бы сумма острых углов хотя бы одного из треугольников ABD и CBD была меньше 90°, то сумма углов треугольника ABC также была бы меньше 180°). По доказанному выше, отсюда следует, что сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90°. Но каждый треугольник A₁B₁C₁ можно разбить на два прямоугольных треугольника высотой, опущенной на большую сторону (см. Рис. 9, б). Так как сумма острых углов каждого из этих треугольников (A₁B₁D₁ и B₁C₁D₁ на Рис. 9, б) равна 90°, то сумма углов треугольника A₁B₁C₁ равна 180°, что и завершает доказательство теоремы.

     Теорема 3. Если сумма углов любого треугольника равна 180°, то справедлив V постулат.

     Пусть A - точка, лежащая вне прямой DD' (см. Рис. 10). Опустим из точки A перпендикуляр AC на прямую DD' и проведем через точку A прямую BB', перпендикулярную к AC. Ясно, что прямые BB' и DD' не пересекаются (иначе образовался бы треугольник с суммой углов, большей 180°).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-