Теорема 2. Если у какого-либо одного треугольника сумма углов равна 180°, то она равна 180° и у любого треугольника.

     Доказательство. Установим прежде всего, что если сумма углов прямоугольного треугольника ABC равна 180°, то сумма углов прямоугольного треугольника ABC₁, катет BC₁ которого равен 2BC (см. Рис. 7), также равна 180°.

Для доказательства построим на стороне AC треугольник ACB', равный ACB (причем так, что ); в таком случае все углы четырехугольника ABCB' будут прямыми (т. к. сумма острых углов треугольника ABC по предположению равна 90°). Продолжив теперь отрезок AB' на расстояние B'C' = AB' и соединив C' с C₁, получим четырехугольник B'CC₁C', равный ABCB' (их можно совместить при помощи симметрии относительно прямой B'C). Поэтому получаем четырехугольник ABC₁C' с четырьмя прямыми углами; диагональ AC₁ разбивает его на два прямоугольных треугольника, сумма углов каждого из которых равна 180°.

     Далее докажем, что если в одном прямоугольном треугольнике ABC сумма углов равна 180°, то сумма углов и любого другого прямоугольного треугольника A₁B₁C₁ равна 180°. Мы можем считать, что оба катета треугольника ABC больше соответствующих катетов треугольника A₁B₁C₁; если бы это было не так, то мы добились бы нужного нам положения вещей, последовательно удвоив несколько раз катеты треугольника ABC (ведь, по доказанному выше, при удвоении одного из катетов прямоугольного треугольника с суммой углов 180° сумма его углов не меняется). Наложим теперь треугольник A₁B₁C₁ на треугольник ABC так, чтобы у них совпали прямые углы (см. Рис. 8), и проведем отрезок AC₁.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-