В заключение приведем в качестве примеров доказательства V постулата (или аксиомы о параллельных), предложенные Валлисом и Бойяи. В следующем пункте также рассмотрим доказательства, данные Лежандром.

     Пусть прямые AB и CD пересекаются прямой AC, причем углы BAC и ACD составляют в сумме меньше двух прямых углов (см. Рис. 4). Валлис передвигает прямую CD по направлению к прямой AB таким образом, что угол ACD остается постоянным. Это передвижение производится до тех пор, пока прямая CD не займет положение C'D', в котором она пересечет прямую AB в точке E'. Получится треугольник AC'E'. Но в силу аксиомы Валлиса можно на отрезке AC построить треугольник, подобный этому треугольнику. Третья вершина этого треугольника и будет точкой пересечения прямых AB и CD.

     Бойяи рассматривает случай, когда прямая AC перпендикулярна к прямой AB (см. Рис. 5; если V постулат доказан для этого случая, его нетрудно доказать и для общего случая). Далее он берет произвольную точку E отрезка AC и находит точки F и G, симметричные точке E относительно прямых AB и CD. Если сумма внутренних односторонних углов и не равна двум прямым, т. е. если прямая CD не перпендикулярна к AC, то точки E, F и G не лежат на одной прямой. Следовательно, они, как считает Бойяи, лежат на одной окружности. В таком случае прямые AB и CD - перпендикуляры, восстановленные в серединах хорд окружности, - пересекаются в центре этой окружности.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-