Так, например, ясно, что если V постулат имеет место, то через точку A, взятую вне прямой DD', можно провести в плоскости ADD' единственную прямую BB', не пересекающую прямой DD'. Действительно, для такой прямой должны быть выполнены соотношения: (где C - произвольно выбранная точка прямой DD') и (см. Рис. 3), т. е. (и ).

С другой стороны, если имеет место аксиома Плейфера, т. е. если через точку A, взятую вне прямой DD', в плоскости ADD' проходит единственная прямая BB', не пересекающая DD', то эта прямая, как нетрудно убедиться, будет определяться условием ^*; все же остальные прямые будут пересекать прямую DD', причем именно так, как это указывается в V постулате. Таким образом, V постулат в самом деле эквивалентен аксиоме Плейфера^**. Ввиду того, что аксиома Плейфера эквивалентна V постулату, но формулируется несколько проще, в современных изложениях элементарной геометрии вместо V постулата используют аксиому параллельности (в форме, предложенной Плейфером). Использована она и в гильбертовой аксиоматике евклидовой геометрии. Вопрос о доказуемости или недоказуемости V постулата полностью совпадает с вопросом о доказуемости или недоказуемости аксиомы параллельности (аксиомы Плейфера).

^*   Ясно, что если сумма внутренних односторонних углов BAC и DCA, образованных прямыми AB и CD с секущей AC, больше или равна 180°, то лучи AB и CD не могут пересечься: ведь если бы они пересеклись в точке P, то внешний угол треугольника ACP при вершине A был бы меньше не смежного с ним внутреннего угла ACP, а еще Евклид доказал, что во всяком треугольнике внешний угол больше внутреннего, с ним не смежного, - причем доказал это, не опираясь на V постулат!

^**   Дж. Плейфер заменил V постулат допущением о существовании в плоскости единственной параллели к a, проходящей через точку A, не принадлежащую прямой a, в выпущенном им "школьном издании" "Начал" Евклида, т. е. в обработке "Начал", призванном играть роль учебника геометрии для английских школьников. (Подобные "школьные издания" Евклида, в которых роль V постулата, как правило, играло допущение Плейфера, были повсеместно распространены в английских школах еще в первой четверти нашего века.)

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-