Формулы / Неевклидовы геометрии / Возникновение неевклидовой геометрии Лобачевского / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Так, например, ясно, что если V постулат имеет место, то через точку A, взятую вне прямой DD', можно провести в плоскости ADD' единственную прямую BB', не пересекающую прямой DD'. Действительно, для такой прямой должны быть выполнены соотношения: ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010484.JPG) (где C - произвольно выбранная точка прямой DD') и ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010485.JPG) (см. Рис. 3), т. е. ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010486.JPG) (и ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010487.JPG) ).
![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010488.JPG)
С другой стороны, если имеет место аксиома Плейфера, т. е. если через точку A, взятую вне прямой DD', в плоскости ADD' проходит единственная прямая BB', не пересекающая DD', то эта прямая, как нетрудно убедиться, будет определяться условием ![](http://www.pm298.ru/Mathem/ds010489.JPG) *; все же остальные прямые будут пересекать прямую DD', причем именно так, как это указывается в V постулате. Таким образом, V постулат в самом деле эквивалентен аксиоме Плейфера**. Ввиду того, что аксиома Плейфера эквивалентна V постулату, но формулируется несколько проще, в современных изложениях элементарной геометрии вместо V постулата используют аксиому параллельности (в форме, предложенной Плейфером). Использована она и в гильбертовой аксиоматике евклидовой геометрии. Вопрос о доказуемости или недоказуемости V постулата полностью совпадает с вопросом о доказуемости или недоказуемости аксиомы параллельности (аксиомы Плейфера).
_____________________________________________________
* Ясно, что если сумма внутренних односторонних углов BAC и DCA, образованных прямыми AB и CD с секущей AC, больше или равна 180°, то лучи AB и CD не могут пересечься: ведь если бы они пересеклись в точке P, то внешний угол треугольника ACP при вершине A был бы меньше не смежного с ним внутреннего угла ACP, а еще Евклид доказал, что во всяком треугольнике внешний угол больше внутреннего, с ним не смежного, - причем доказал это, не опираясь на V постулат!
** Дж. Плейфер заменил V постулат допущением о существовании в плоскости единственной параллели к a, проходящей через точку A, не принадлежащую прямой a, в выпущенном им "школьном издании" "Начал" Евклида, т. е. в обработке "Начал", призванном играть роль учебника геометрии для английских школьников. (Подобные "школьные издания" Евклида, в которых роль V постулата, как правило, играло допущение Плейфера, были повсеместно распространены в английских школах еще в первой четверти нашего века.)
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-
|
|