Неевклидова геометрия Лобачевского и абсолютная геометрия. Многие попытки доказательства V постулата проводились по схеме "доказательства от противного", т. е. предполагалось, что V постулат не имеет места, и делался ряд выводов, имеющих место в этом случае. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то V постулат был бы доказан. По этому пути шли упомянутые выше Хасан ибн ал-Хайсам и Омар Хайям, а также во многом следовавшие за Хайямом азербайджанский математик XIII века Насир ад-Дин ат-Туси, итальянский математик XVII-XVIII веков Джироламо Саккери и немецкий математик XVIII века Иоганн Генрих Ламберт. При этом было накоплено много фактов, которые имели бы место в геометрии, в которой верны все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельности, а последняя неверна. Особенно много удивительных теорем, которые имели бы место в такой "геометрии", если бы только последняя была возможна, получил И.Г. Ламберт. Однако никто из перечисленных выше математиков не допускал и мысли о том, что, помимо геометрии Евклида, возможна другая непротиворечивая геометрия. В большинстве случаев все их построения завершались тем, что явно или неявно применялась аксиома, содержащая утверждение, равносильное V постулату, в результате чего и обнаруживалось противоречие. Однако сегодня мы ценим упомянутые исследования как заложившие начала неевклидовой геометрии Лобачевского. Под этим названием понимается та совокупность теорем, которая может быть выведена из системы аксиом, получаемой, если заменить аксиому параллельных евклидовой геометрии противоположным утверждением: в плоскости через точку A, не принадлежащую прямой a, можно провести более одной прямой, не пересекающейся с a (см. Рис. 14).

Эта геометрическая система носит имя Николая Ивановича Лобачевского, профессора и ректора Казанского университета. Независимо от него, существование новой геометрии установили великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс и замечательный венгерский математик Янош Бойяи, сун Фаркаша Бойяи. Названные три автора первоначально шли тем путем, который мы указали выше. Стремясь доказать V постулат от противного, они глубоко развили аксиоматическую систему, получающуюся при отрицании истинности V постулата^*, но не обнаружили при этом никаких противоречий. Однако, в противоположность своим предшественникам, эти три великих математика сделали из полученных ими результатов вывод о существовании геометрической системы, отличной от евклидовой. При этом они продолжали исследовать новую геометрию, получая дальнейшие относящиеся к ней теоремы. По-видимому, Гаусс владел основными идеями новой геометрии уже в начале 10-х годов прошлого века; однако, боясь быть непонятным, он никому не сообщил о своем замечательном открытии. Мужественнее поступили Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи, которые опубликовали первые работы, излагающие существо неевклидовой геометрии, и отстаивали свои идеи. Первая публикация в этом направлении принадлежит Лобачевскому, напечатавшему в 1829 году в журнале "Казанский вестник" статью "О началах геометрии". Вслед за этим Лобачевский напечатал много других статей и книг, широко раскрывающих содержание открытой им геометрической системы. Я. Бойяи опубликовал свое открытие в 1832 году в виде приложения ("Appendix") к обширному сочинению своего отца. Этот краткий мемуар по достоинству считается одним из замечательнейших произведений мировой математической литературы.

^*   Заметим, впрочем, что полная система аксиом евклидовой геометрии была установлена лишь на рубеже XIX и XX веков, так что все построения Лобачевского, Гаусса и Бойяи не являются чисто дедуктивными.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-