Свойства разности элементов кольца:

     Теорема 3. (Свойства разности) В любом кольце разность элементов обладает следующими свойствами:

     а) a - b = c - d тогда и только тогда, когда a + d = b + c;

     б) (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d);

     в) (a - b) - (c - d) = (a + d) - (b + c);

     г) (a - b)(c - d) = (ac + bd) - (ad + bc).

     Доказательство. Прибавляя b + d к обеим частям равенства a - b = c - d, получим: a + d = b + c. Обратно, прибавляя (-b) + (-d) к обеим частям второго из этих равенств, получим первое. Этим доказано а). Равенство б), в) и г) доказываются аналогично.

     Подкольцо. Подмножество M кольца R называется подкольцом, если оно само является кольцом при тех эе операциях сложения и умножения, которые определены в кольце R.

     Так, кольцо четных чисел является подкольцом кольца целых чисел, а последнее в свою очередь - подкольцом кольца рациональных чисел.

     При выяснении того, является ли данное множество кольца подкольцом, нет надобности проверять справедливость всех свойств кольца. Большинство из них автоматически переходит с кольца на любое его подмножество. Удобнее всего пользоваться для этого такой теоремой:

     Теорема 4. Для того чтобы непустое подмножество M кольца R было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение любых двух элементов из M снова принадлежали M.

     Доказательство. Для доказательства необходимости этих условий предположим, что M является подкольцом R. Сложение в M совпадает со сложением в R. Но из единственности обратной операции следует, что и вычитание в M совпадает с вычитанием в R. Поэтому сумма, разность и произведение любых двух элементов из M (определенные в кольце R) должны принадлежать снова к M, так как иначе одна из этих операций для данных двух элементов M была бы невыполнима в M, что противоречит определению кольца и следующей из него выполнимости вычитания.

     Для доказательства достаточности предположим, что множество M удовлетворяет условиям теоремы. Так как сумма и произведение (определенные в R) любых элементов из M снова принадлежат к M, то их можно принять за результат сложения и умножения в M. Этим в M будут определены сложение и умножение. Свойства I, II. IV, V и VI переносятся автоматически с R на любое его подмножество и, значит, выполнены в M. Пусть a и b - элементы M. Тогда b - a = c также есть элемент M. Но по свойству разности в R имеем:

a + (b - a) = b или a + c = b.

Таким образом, и свойство III выполнено в M, и M является подкольцом кольца R.

-1-2-3-4-5-6-