Интегрируемость некоторых разрывных функций

     Будем говорить, что точка x покрыта интервалом, если эта точка принадлежит указанному интервалу. Докажем следующую теорему.

     Теорема. Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a, b] и если для любого положительного числа ε можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε, то f(x) интегрируема на сегменте [a, b].

     Доказательство. Пусть дано любое ε > 0. Покроем точки разрыва функции f(x) конечным числом интервалов, сумма длин которых меньше , где M и m - точные верхняя и нижняя грани f(x) на сегменте [a, b] (случай M = m можно исключить, так как тогда f(x) ≡ c ≡ const). Точки сегмента, не принадлежащие указанным интервалам, образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся сегментов. На каждом из них функция f(x) непрерывна и поэтому равномерно непрерывна. Разобъем каждый такой сегмент так, чтобы колебание ω_i функции f(x) на любом частичном сегменте разбиения было меньше . Объединяя эти разбиения и интервалы, покрывающие точки разрыва функции f(x), получим разбиение T всего сегмента [a, b]. Для этого разбиения слагаемые суммы (равной S - s) разделяются на две группы и , причем в первую группу входят все слагаемые, отвечающие частям разбиения T, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а во вторую - остальные слагаемые. Так как колебания ω_i = M_i - m_i для слагаемых первой группы удовлетворяют неравенству ω_i ≤ M - m, то

Для слагаемых второй группы . Поэтому

Таким образом,

Итак, для указанной в условии теоремы функции f(x) выполнены достаточные условия интегрируемости. Теорема доказана.

-1-2-3-4-5-6-7-