Замечание. Можно следующим образом обобщить лемму Гейне-Бореля. Если замкнутое ограниченное множество {x} покрыто бесконечной системой открытых множеств, то из этой системы можно выделить конечную подсистему множеств, которая также покрывает множество {x}. Дадим теперь другое доказательство теоремы о равномерной непрерывности.

     Доказательство теоремы равномерной непрерывности. Положим f(x) на всю прямую, положив ее равной f(b) при x > b и равной f(a) при x < a. Так как f(x) непрерывна в каждой точке сегмента [a, b], то для любой точки x этого сегмента и любого заданного ε > 0 можно указать такое δ' > 0, зависящее, вообще говоря, от x, что для всех точек x', удовлетворяющих условию |x' - x| < δ', выполняется неравенство |f(x') - f(x)| < ε/2. Таким образом, сегмент [a, b] покрыт бесконечной системой интервалов (x - δ'/2, x + δ'/2)^*, из которой можно выделить, в силу леммы Гейне-Бореля, конечную подсистему интервалов, также покрывающую сегмент [a, b]. Пусть δ - минимальное значение δ'/2 для этой конечной подсистемы интервалов. Пусть теперь x' и x" - любые точки сегмента [a, b], удовлетворяющие условию |x" - x'| < δ, и x - центр того интервала (x - δ'/2, x + δ'/2), δ ≤ δ'/2, системы , который покрывает точку x'. Так как |x' - x| < δ'/2 < δ' и |x" - x'| < δ', то |f(x') - f(x)| < ε/2 и |f(x") - f(x')| < ε/2 и поэтому

|f(x") - f(x')| ≤ |f(x") - f(x')| + |f(x') - f(x)| < ε/2 + ε/2 = ε.

Итак, для любого заданного ε > 0 мы указали такое δ > 0, что для любых точек x' и x" сегмента [a, b], удовлетворяющих условию |x" - x'| < δ, выполняется неравенство |f(x") - f(x')| < ε. Следовательно, функция f(x) равномерно непрерывна на сегменте [a, b]. Теорема доказана.

     Интегрируемость непрерывных функций

     Докажем следующую основную теорему.

     Теорема. Непрерывная на сегменте [a, b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

     Доказательство. Пусть дано любое ε > 0. В силу равномерной непрерывности функции f(x) на сегменте [a, b] для положительного числа ε/(b - a) можно указать такое δ > 0, что при разбиении T сегмента [a, b] на частичные сегменты [x_i-1, x_i], длины Δx_i которых меньше δ, колебание ω_i функции f(x) на каждом таком частичном сегменте будут меньше ε/(b - a) (см. следствие из теоремы о равномерной непрерывности), Поэтому для таких разбиений T

Следовательно, для непрерывной на сегменте [a, b] функции f(x) выполнены достаточные условия интегрируемости.

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   Берем интервал (x - δ'/2, x + δ'/2) вместо (x - δ', x + δ') для удобства дальнейших рассуждений.