Лемма Гейне-Бореля. Другое доказательство теоремы о равномерной непрерывности

     Точка x множества {x} называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит некоторому интервалу, все точки которого принадлежат множеству {x}. Множество {x} называется открытым, если все точки этого множества внутренние.

     Будем говорить, что данное множество {x} покрыто системой открытых множеств^*, если каждая точка x этого множества принадлежит по крайней мере одному множеству системы . Докажем следующую лемму.

     Лемма Гейне-Бореля. Если сегмент [a, b] покрыт бесконечной системой открытых множеств, то из этой системы можно выделить конечную подсистему множеств, которая также покрывает сегмент [a, b].

     Доказательство^**.

     Пусть {x} - множество таких точек сегмента [a, b], что если x принадлежит этому множеству, то сегмент [a, x] покрывается некоторой конечной подсистемой множеств системы . Докажем, что множество {x} совпадает с сегментом [a, b]. Так как точка a покрыта некоторым множеством системы и это множество открытое, то оно покрывает также некоторый сегмент [a, x], все точки которого согласно вышесказанному, принадлежат множеству {x}. Множество {x}, очевидно, ограничено. Пусть . Убедимся, что принадлежит множеству {x} и что . В самом деле, покрыто некоторым множеством системы и, следовательно, этим же множеством покрыты все точки некоторого интервала . Так как , то имеются точки множества {x}, как угодно близкие к , и поэтому найдется точка x' этого множества, принадлежащая интервалу . Из определения множества {x} вытекает, что сегмент [a, x'] покрывается некоторой конечной подсистемой множеств системы . Присоединяя к множество, покрывающее точку , получим конечную подсистему множеств системы , которая покрывает сегмент . Следовательно, принадлежит {x}. Если допустить, что , то подсистема покрывала бы все точки некоторого сегмента [a, x"], где , и поэтому точка x" принадлежала бы множеству {x}. Но этого не может быть, так как - точная верхняя грань множества {x}. Таким образом, множество {x} совпадает с сегментом [a, b]. Лемма доказана.

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   Если множество {x} состоит из одной точки, а система содержит лишь одно открытое множество, то будем говорить, что это множество покрывает указанную точку.

^**   Это доказательство леммы Гейне-Бореля принадлежит французскому математику Анри Лебегу (1875 - 1941). Отметим, что Лебегом был указан и обоснован более общий, чем излагаемый в этом пункте, подход к проблеме интегрирования. Соответствующее понятие интеграла носит наименование интеграла Лебега.