3) Функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1). Докажем, что для любого ε, удовлетворяющего условиям 0 < ε < 2, нельзя указать δ > 0, гарантирующего выполнение неравенства |f(x") - f(x')| < ε < 2 для всех x' и x" из интервала (0, 1) при единственном условии |x" - x'| < δ. Чтобы убедиться в этом, достаточно положить и и для любого δ > 0 выбрать k столь большим, что |x" - x'| < δ. Для указанных точек x' и x" при любом k разность

     Докажем следующую основную теорему.

     Теорема о равномерной непрерывности. Непрерывная на сегменте [a, b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте.

     Доказательство. Предположим, что непрерывная на сегменте [a, b] функция f(x) не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда для некоторого ε > 0 не выполняются условия, сформулированные в определении равномерной непрерывности. Это означает, что для указанного ε > 0 и любого положительного числа δ на сегменте [a, b] найдутся точки x' и x" такие, что |x" - x'| < δ, но |f(x") - f(x')| ≥ ε. Поэтому для каждого δ = 1/n, n = 1, 2, ..., найдутся точки и сегмента [a, b] такие, что , но . Так как - последовательность точек сегмента [a, b], то из нее, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, можно выделить сходящуюся к некоторой точке с этого сегмента подпоследовательность (см. замечание 2). Очевидно, подпоследовательность последовательности также сходится к c. Так как функция f(x) непрерывна в точке c, то пределы последовательностей и равны f(c), и поэтому последовательность является бесконечно малой. Но этого не может быть, поскольку все элементы указанной последовательности удовлетворяют неравенству . Таким образом, предположение о том, что непрерывная на сегменте [a, b] функция не является равномерно непрерывной, ведет к противоречию. Теорема доказана.

     Следствие. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b]. Тогда для любого положительного числа ε можно указать такое δ > 0, что на каждом принадлежащем сегменту [a, b] частичном сегменте [c, d], длина d - c которого меньше δ, колебание ω^* функции f(x) меньше ε.

     Доказательство. В силу только что доказанной теоремы непрерывная на сегменте [a, b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте. Поэтому для любого ε > 0 можно указать δ > 0 такое, что для любых x' и x" из сегмента [a, b], удовлетворяющих условию |x" - x'| < δ, выполняется неравенство |f(x") - f(x')| < ε. Докажем, что на каждом принадлежащем сегменту [a, b] частичном сегменте [c, d], длина d - c которого меньше указанного δ, колебание ω функции f(x) меньше ε. В самом деле, поскольку функция f(x) непрерывна на сегменте [c, d], то на этом сегменте можно указать такие точки x' и x", что f(x') = m, а f(x") = M, где m и M - точные нижняя и верхняя грани f(x) на сегменте [c, d]. Так как |x" - x'| < δ (длина сегмента [c, d] меньше δ), то |f(x") - f(x')| < ε. Но f(x") - f(x') = M - m = ω. Поэтому ω < ε.

     Замечание. Множество {x} точек числовой прямой называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Справедливо следующее утверждение. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве {x} функция f(x) равномерно непрерывна на этом множестве. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы о равномерной непрерывности.

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   Напомним, что колебанием ω функции f(x) на сегменте [c, d] называется разность M - m между точной верхней и точной нижней гранями функции f(x) на этом сегменте.