Некоторые классы интегрируемых функций

     В этом пункте докажем интегрируемость непрерывных на сегменте функций, некоторых разрывных функций и монотонных функций. Для доказательства интегрируемости непрерывных функций нам понадобится важное свойство непрерывных на сегменте функций, которое устанавливается в ближайшем пункте.

     Свойство равномерной непрерывности функции

     Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве {x}^*, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ, зависящее только от ε, что для любых двух точек x' и x" множества {x}, удовлетворяющих условию |x" - x'| < δ, выполняется неравенство |f(x") - f(x')| < ε.

     Замечание. Главное в этом определении то, что для любого ε > 0 найдется δ > 0, гарантирующее выполнение неравенства |f(x") - f(x')| < ε сразу для всех x" и x' из множества {x} при единственном условии |x" - x'| < δ.

     Для разъяснения свойства равномерной непрерывности рассмотрим следующие примеры:

     1) Функция равномерно непрерывна на полупрямой x ≥ 1. В самом деле, по теореме Лагранжа имеем для любых x' ≥ 1 и x" ≥ 1

(последнее неравенство вытекает из того, что ξ заключено между x' и x", и поэтому ξ > 1). Следовательно, если по данному ε > 0 выбрать любое δ, удовлетворяющее условию 0 < δ ≤ 2ε, то при |x" - x'| < δ выполняется неравенство |f(x") - f(x')| < ε, т. е. на множестве x ≥ 1 функция равномерно непрерывна.

     2) Функция f(x) = x² не является равномерно непрерывной на множестве x ≥ 1. Достаточно доказать, что для некоторого ε > 0 нельзя выбрать δ > 0, гарантирующего выполнение неравенства |f(x") - f(x')| < ε для всех x' ≥ 1 и x" ≥ 1 при единственном условии |x" - x'| < δ. Докажем, что на самом деле даже для любого ε > 0 нельзя выбрать указанного выше δ. Фиксируем ε > 0 и рассмотрим любое положительное δ. Выберем . Тогда . Используя теорему Лагранжа, получим

|f(x") - f(x')| = 2ξ |x" - x'| = ξδ.

Так как ξ заключено между x' и x", то , и поэтому из последнего равенства вытекает неравенство

|f(x") - f(x')| > ε,

хотя |x" - x'| < δ. Таким образом, функция f(x) = x² не является равномерно непрерывной на множестве x ≥ 1.

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   При этом предполагается, что множество {x} плотно в себе.