Пусть . Определим отображение f множества M в себя следующим образом:

f(a_n) = a_n+1 (n = 1, 2, ...), f(b) = b

для любого . Очевидно, что f является взаимно однозначным отображением множества M на его собственное подмножество M\{a₁}, что и доказывает теорему.

     Дадим теперь другое определение понятий конечного и бесконечного множеств.

     Определение 2. Множество, не имеющее равномощного с ним собственного подмножества, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

     Из теорем 1 и 7 следует эквивалентность определения 2 прежнему определению 1. В самом деле, если множество конечно в смысле определения 1, то по теореме 1 оно конечно и в смысле определения 2. Обратно, если множество конечно в смысле определения 2, то оно должно быть конечно и в смысле определения 1, так как иначе оно было бы бесконечно в смысле определения 1 и по теореме 7 бесконечно также в смысле определения 2, что невозможно. Итак, оба определения конечных множеств эквивалентны. Отсюда (посредством рассуждения от противного) сразу вытекает эквивалентность определений бесконечных множеств.

     Отметим, что определение 2 имеет то (правда, лишь формальное) преимущество перед определением 1, что оно формулировано в терминах общей теории множеств, тогда как определение 1 предполагает известными свойства натурального ряда.

-1-2-3-4-5-6-7-8-