Предположим обратное. Тогда все числа интервала можно занумеровать так:

(0, 1) = {c₁, c₂, c₃, ...}.

Запишем каждое число десятичной дробью указанного вида:

     (4)

     Построим теперь число

c = 0, b₁ b₂ b₃ ...

следующим образом: берем цифру b₁, отличную от a₁₁, 0 и 9; берем b₂, отличную от a₂₂, 0 и 9; b₃, отличную от a₃₃, 0 и 9; b_n, отличную от a_nn, 0 и 9, ... Наличие десяти цифр оставляет для такого выбора достаточно возможности (именно, каждый раз в нашем распоряжении остается еще семь цифр). Дробь 0, b₁ b₂ b₃ ... обладает нужными свойствами и даже в усиленной форме - она вовсе не имеет цифр 0 и 9. Значит, число c принадлежит интервалу (0, 1). Но запись c отлична от записей всех чисел (4). В самом деле, запись c отличается от c₁, т. к. , от c₂, т. к. и т. д. Но дробью нашего типа числа интервала записываются однозначно. Значит,

Оказалось, что число c не входит во множество чисел (4), тогда как мы предположили, что в (4) перенумерованы все числа интервала. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

-1-2-3-4-5-6-7-8-