Предположим, что теорема доказана для натурального числа n, и докажем ее для числа n+1. Итак, пусть A~|1, n+1|, и f есть взаимно однозначное отображение A на B. Занумеровав элементы A соответствующими им числами, получим:

A = {a₁, a₂, ..., a_n+1}.

     Для B = 0 утверждение справедливо. Если , то без ограничения общности можно предположить, что . Иначе берем элемент и строим новое множество B₁, полученное из B заменой элемента b на a_n+1, и новое отображение f₁, которое совпадает с f для всех элементов множества A, кроме элементов a со свойством f(a) = b, причем для этого элемента a полагаем f₁(a) = a_n+1. Тогда f₁ будет взаимно однозначным отображением A на собственное подмножество B₁, содержащее a_n+1. Далее, без ограничения общности можно считать, что f(a_n+1) = a_n+1. Иначе пусть f(a_i) = a_n+1 и f(a_n+1) = a_j. Тогда строим новое отображение f₁, совпадающее с f для всех элементов A, кроме a_i и a_n+1, причем полагаем f₁(a_i) = a_j и f₁(a_n+1) = a_n+1. Итак, пусть и f(a_n+1) = a_n+1, пусть также A' = A\{a_n+1} и B' = B\{a_n+1}. Так как B - собственное подмножество A, то существует элемент . Так как , то . Поэтому . Значит, B' есть собственное подмножество A'. Так как f(a_n+1) = a_n+1, то отображение f устанавливает равномощность множеств A' и B', но A' = {a₁, a₂, ..., a_n} ~ |1, n|. Мы получили противоречие с предположением индукции, чем наше утверждение, а значит, и вся теорема доказаны.

     Из теоремы 1 легко следует

     Теорема 2. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

     По определению конечного множества непустое конечное множество A равномощно по крайней мере одному отрезку натурального ряда. Если бы оно было равномощно двум различным отрезкам , то по свойствам равномощности будет: |1, m| ~ |1, n|, что противоречит теореме 1, так как один из двух различных отрезков натурального ряда является собственным подмножеством другого.

     Однозначно определенное для данного непустого конечного множества A натуральное число n такое, что A ~ |1, n|, называется числом элементов множества A. Числом элементов пустого множества называется число 0.

     Из свойств равномощности следует, что два конечных множества тогда и только тогда равномощны, когда они имеют одно и то же число элементов. Поэтому число элементов можно принять за определение мощности конечного множества.

-1-2-3-4-5-6-7-8-