Для коммутативных групп из возможности перестановки сомножителей (2) следует:

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ.     (5)

     Мы указали, как равенства (3), (4) и (5) доказываются для натуральных чисел m и n, однако эти равенства остаются верными для любых целых чисел m и n, что можно проверить путем рассмотрения всевозможных случаев .

     Из однозначности решений уравнений ax = b и ya = b следует наличие в группе G обеих обратных операций для операции умножения. В случае коммутативной группы G обе эти обратные операции совпадают. В самом деле, если c - решение уравнения ax = b, то ac = b. Значит, ca = b, т. е. c - решение уравнения ya = b.

     Определение 5. Операция, обратная для операции умножения в коммутативной группе G, называется делением. Ее результат для элементов a и b, т. е. решение уравнений ax = b и ya = b, называется частным элементов b и a и обозначается через b:a или .

     Аддитивная запись. Групповая операция может обозначаться через a + b и называться сложением. Тогда говорят об аддитивной записи группы. В этом случае группа обычно предполагается коммутативной. При аддитивной записи вместо 1 говорят о нуле и вместо обратного элемента a ^-1 о противоположном элементе - a. Далее, вместо степени aⁿ говорят о кратном na (не следует понимать na как произведение n и a, т. к. целое число может и не быть элементом группы G). Итак,

     Для аддитивно записанной группы G сумма n элементов обозначается так:

и соответственно изменяется вид равенств (1) - (5).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-