Следствия из законов обратимости. Заметим, что свойство II еще не означает наличия в G операций, обратных умножению, так как II утверждает лишь существование, но не единственность элементов c и d. Для доказательства единственности этих элементов введем понятия единицы и обратного элемента.

     Определение 4. Единицей группы G называется элемент e такой, что ea = ae = a для любого a из G. Обратным для элемента a из G называется элемент a ^-1 такой, что aa ^-1 = a ^-1a = e, где e - единица группы G.

     Теорема 1. В любой группе G существует единица e и притом только одна; для любого элемента a существует обратный элемент a ^-1 и притом только один; существующие по закону обратимости II решения уравнений ax = b и ya = b являются единственными для любых a и b из G.

     Доказательство. Пусть e - решение уравнения yb = b для некоторого b из G, т. е. eb = b. Для любого a уравнение bx = a имеет решение c, т. е. bc = a. Тогда

ea = e(bc) = (eb)c = bc = a.

Итак, ea = a для любого a из G. Так же доказывается существование в G элемента e' такого, что ae' = a для любого a из G.

     Тогда e = ee' = e'. Итак, e - единица группы G. Если e₁ и e₂ - две единицы, то e₁ = e₁e₂ = e₂, чем доказана единственность единицы e.

     Далее, по закону обратимости II существуют элементы b и c, для которых ba = e и ac = e. Тогда b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c, т. е. b = c.

     Итак, элемент a ^-1 = b обладает свойством aa ^-1 = a ^-1a = e, т. е. является обратным для a. Если b и c - два любых элемента, обратных для a, то, как выше, докажем, что b = bac = c, чем доказана единственность обратного элемента.

     Если c₁ и c₂ - любые решения уравнения ax = b, то ac₁ = b и ac₂ = b. Значит, ac₁ = ac₂. Умножая слева на a ^-1, найдем c₁ = c₂. Так же доказывается единственность решения уравнения ya = b. Теорема доказана.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-