Докажем равенство (1) при заданном m индукцией по n. При n = 1 оно вытекает прямо из определения 3. Если (1) верно для числа n, то, применяя определение 3 и закон ассоциативности, находим:

что и доказывает (1) для числа n + 1.

     Можно определить произведение любого конечного числа элементов группы с любым распределением скобок и доказать его независимость от распределения скобок.

     Для коммутативной группы G произведение n элементов не зависит от порядка сомножителей, т. е. если f(i) - любое взаимно однозначное отображение множества 1, 2, ..., n на себя, то

     (2)

     Наметим лишь ход доказательства. 1) Пользуясь правом вводить и отбрасывать скобки и законом коммутативности, доказываем, что произведение n элементов не меняется от перестановки двух соседних множителей. 2) Перестановку двух любых множителей сводим к ряду перестановок соседних множителей. 3) Любую перестановку множителей сводим к ряду перестановок двух множителей.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-