По закону ассоциативности найдем: s ^-1(su) = (s ^-1s)u = eu = u, т. е. u = s ^-1t. Итак, уравнение sx = t может иметь решение лишь s ^-1t. Но это отображение действительно удовлетворяет уравнению sx = t, так как

s(s ^-1t) = (ss ^-1)t = et = t.

Аналогично доказывается, что уравнение ys = t имеет единственное решение y = ts ^-1.

     Итак, G - группа. Она называется группой преобразования множества M. Для конечного M группа G называется также группой подстановок множества M.

     Если M содержит более двух элементов, то группа подстановок G не коммутативна. Так, группа подстановок трех чисел 1, 2, 3 содежит шесть элементов. Обозначая каждую подстановку двумя строками, где под каждым числом стоит число, ему соответствующее, запишем их в виде

     Перемножая, находим:

и ,

т. е. произведение меняется при перемене порядка сомножителей.

     Группы подстановок имеют большое значение в алгебре. с ними связано решение вопроса о разрешимости уравнения в радикалах, данное французским математиком Эваристом Галуа (1811-1832).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-