Так, для положительных действительных чисел операция f(a, b) = a^b не коммутативна, т. к. . Первая обратная операция существует; вторая же - f₂(c, a) = log_ac не определена для a = 1 и , а также для таких a и c, когда (ведь мы рассматриваем нашу операцию лишь на множестве положительных чисел). В тех же случаях, когда вторая операция также определена, она не совпадает с первой операцией.

     В одном и том же множестве может быть задано несколько алгебраических операций. Желая изучать общие свойства сложения и умножения чисел, мы рассмотрим сначала множества с одной алгебраической операцией. Таким образом, мы приходим к первому из основных понятий современной алгебры, именно к понятию группы.

     Определение 2. Непустое множество G называется группой, если в нем определена алгебраическая операция, называемая умножением, которая каждым двум элементам a, b из G ставит в соответствие элемент ab также из G, называемый их произведением, и обладает нижеследующими свойствами:

     I. (Закон ассоциативности) a(bc) = (ab)c;

     II. (Закон обратимости) Для любых a и b из G уравнения ax = b и ya = b разрешимы в G, т. е. в G существуют элементы c и d такие, что ac = b, da = b. Если групповая операция коммутативна, т. е. ab = ba для любых a, b из G, то группа G называется коммутативной. (коммутативные группы называются также абелевыми)

     Приведем несколько примеров групп.

     Пример 1. Все целые, все рациональные, все действительные и все комплексные числа являются группами относительно операции сложения чисел, играющего роль групповой операции умножения.

     Ни одно из этих множеств не является группой относительно операции умножения чисел, т. к. уравнения 0*x = 1 не имеют решения.

     Пример 2. Все рациональные, все действительные и все комплексные числа, исключая число 0, являются группами относительно операции умножения чисел.

     Пример 3. Множество G двух элементов e и a с операцией, заданной равенствами ee = aa = e, ea = ae = a, является группой.

     Все эти группы коммутативны.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-