Взаимное расположение гиперболы и прямой. Касательная к гиперболе. Пусть прямая g проходит через точку M гиперболы и пересекает директрису f в точке G (см. Рис. 9).

Построим прямую g₁, симметричную с прямой FM относительно FG. Как и для случая эллипса, можно доказать, что если прямая g не параллельна какой-либо асимптоте, то прямая g₁ пересекает прямую g в принадлежащей гиперболе точке M'. Однако если прямые MF и FG перпендикулярны, то прямая g₁ совпадает с MF и точка M' совпадает с M. Если же прямая g параллельна асимптоте, то и вторая точка пересечения прямой g с гиперболой отсутствует (говорят, что в этом случае вторая точка пересечения "уходит в бесконечность"). Итак, если прямая имеет с гиперболой одну общую точку, то она имеет с ней и еще одну общую точку, которая может совпасть с первой или уйти в бесконечность. Прямая, не параллельная асимптоте и имеющая с гиперболой только одну общую точку, называется касательной к гиперболе. Отрезок касательной, заключенный между точкой касания и директрисой, виден из соответствующего фокуса под прямым углом.

     Отсюда следует, что касательные в концах фокальной хорды гиперболы пересекаются на директрисе или параллельны ей и наоборот.

     Пусть касательная в точке M гиперболы пересекает ее директрисы в точках T и , а прямая, проведенная параллельно оси x, пересекает директрисы в точках P и (см. Рис. 10).

Из подобия треугольников MPT и следует, что . С другой стороны, . Следовательно, . Но треугольники MFT и прямоугольные; поэтому они подобны и . Таким образом, касательная к гиперболе делит пополам угол между фокальными радиусами, проведенными в точку касания.

     Из этого свойства касательной непосредственно получается построение касательной к гиперболе в данной ее точке.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-