Из уравнения (7) следует:

Очевидно, что при x → ∞ величина δ → 0. Это значит, что с возрастанием x точки гиперболы неограниченно приближаются к асимптоте, так как расстояние от точки гиперболы до асимптоты не превосходит | δ | (как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой | δ |).

     При удалении точки гиперболы вдоль одной ветви ее расстояние до соответствующей асимптоты неограниченно убывает.

     Гипербола, асимптоты которой перпендикулярны, называется равнобочной. В этом случае асимптотами являются биссектрисы y = ± x координатных углов и уравнение гиперболы имеет вид

x² - y² = a².     (8)

При помощи сжатия к действительной оси с коэффициентом из равнобочной гиперболы (8) можно получить "общую" гиперболу (6). Для равнобочной гиперболы .

     Подобно тому как окружность есть частный случай эллипса, отвечающий равенству a = b, так и равнобочная гипербола есть гипербола, для которой a = b. Эту аналогию можно проиллюстрировать на следующем примере. Окружность, как известно, есть множество третьих вершин треугольников, у которых две вершины неподвижны и сумма углов при этих вершинах равна 90° (см. Рис. 7). Равнобочная же гипербола есть множество третьих вершин треугольников, у которых две вершины фиксированы и разность углов при этих вершинах равна 90° (см. Рис. 8).

Действительно, пусть в треугольнике ABC вершины A и B фиксированы и . Примем прямую AB за ось x, а перпендикуляр к отрезку AB, восстановленный в его середине, за ось y. Обозначив длину отрезка AB через 2a и опустив высоту CC₁ = y, получим из рассмотрения подобных треугольников ACC₁ и BCC₁:

y: (a + x) = (x - a) : y   или   x² - a² = y²,   т. е.   x² - y² = a².

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-