Далее, между параллельными прямыми t₁ и y точек гиперболы нет. В самом деле, если точка M лежит внутри полосы, образованной прямыми t₁ и y, а M₁ - проекция этой точки на ось x, то имеем M₁F : M₁D > ε, т. к. при движении M₁ от O к A отношение M₁F : M₁D возрастает от ε² до ∞ и затем убывает от ∞ до ε. Значит, и M₁F : M₁D > ε. Следовательно, мнимая ось y гиперболу не пересекает.

     Между прямыми t₁ и t₂, проведенными через вершины A₁ и A₂ гиперболы перпендикулярно к ее оси x, нет точек гиперболы.

     Рассмотрим точку N гиперболы, расположенную над осью x и правее прямой t₁ (см. Рис. 3). Расстояние y этой точки гиперболы от оси x определяется по теореме Пифагора: .

Положив r = εd, получим:

     (2)

     Соотношение (2) показывает, что при монотонном и неограниченном возрастании расстояния d величина y также возрастает монотонно и неограниченно. Следовательно, точки гиперболы простираются в бесконечность.

     При монотонном неограниченном возрастании расстояния точки гиперболы от оси x расстояние этой точки до оси y также растет монотонно и неограниченно.

     Свойства фокусов гиперболы. Отрезок, соединяющий точку P гиперболы с ее фокусом, будем называть фокальным радиусом. Одна и та же точка гиперболы имеет два фокальных радиуса r и (см. Рис. 4).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-