Окончательно получаем:

Но, по условию, . Следовательно, , что и доказывает теорему.

     Гипербола имеет центр симметрии, расстояние d₀ которого от директрисы гиперболы определяется по формуле (1).

     Из того, что у гиперболы есть центр симметрии O и ось симметрии x, проходящая через точку O, следует, что прямая y, проходящая через точку O перпендикулярно к оси x, также является осью симметрии гиперболы. Эта ось называется ее мнимой осью. Итак, гипербола имеет две перпендикулярные оси симметрии, пересекающиеся в центре симметрии гиперболы.

     Свойства симметрии гиперболы позволяют ограничиться изучением поведения этой кривой только внутри одного из прямых углов, определяемых осями симметрии гиперболы. Кроме того, из свойств симметрии следует, что у гиперболы есть второй фокус и вторая директриса .

     Проведем через точку A₁ прямую t₁, параллельную оси y (см. Рис. 3).

На прямой t₁ имеется лишь одна точка гиперболы - точка A₁, так как для всякой другой точки этой прямой значение d остается тем же самым, что и у точки A₁, а значение r - отличным от FA₁.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-