Докажем, что точка O является центром симметрии гиперболы. Пусть точка M₁ принадлежит гиперболе. Это значит, что отрезки r₁ = FM₁ и d₁P₁M₁ удовлетворяют соотношению r₁ = εd₁. Для точки M₂, симметричной M₁ относительно O, имеем r₂ = FM₂ и d₂ = M₂P₂ (см. Рис. 2).

Нам нужно установить, что r₂ = εd₂.

     Отрезок OD = d₀ равен (где d₂ > d₁), как отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции M₁P₁M₂P₂. Поэтому расстояния точек M₁ и M₂ от оси x равны

Отсюда следует, что

т. е.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-