Очевидно, что и x² - y² = m₁m₂. Но , откуда .

     Следовательно,

, или ,

так как для равнобочной гиперболы c² = 2a². Таким образом, середина T отрезка N₁N₂ принадлежит гиперболе и касательной, т. е. точка T является точкой касания.

     Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам.

     Из этой теоремы следует, что гипербола есть геометрическое место вершин параллелограммов постоянной площади, у которых одна вершина и угол при ней фиксированы, а две другие прилежащие вершины лежат соответственно на прямых, содержащих стороны данного угла.

     Если асимптоты гиперболы принять за оси косоугольной системы координат, то уравнение гиперболы принимает вид

, или .

     В частности, уравнение равнобочной гиперболы в прямоугольной декартовой системе координат, оси которой совпадают с ее асимптотами, имеет вид

или ,

где k ≠ 0 - некоторая постоянная. Именно в этом виде уравнение гиперболы фигурирует в школьном курсе алгебры.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-