Пусть . Из рассмотрения трапеции легко вывести, что расстояние h₀ = OH₀ от центра O гиперболы до касательной t равно . Далее, отложив на продолжении OH₀ отрезок H₀F' = h и учитывая, что и OF = c, из прямоугольных треугольников OF'F и OH₀H находим:

и, значит,

или

     Можно доказать и обратное предложение, а именно, что множество прямых плоскости, пересекающих отрезок и обладающих тем свойством, что произведение расстояний от точек F и до каждой из этих прямых постоянно, совпадает с множеством касательных некоторой гиперболы с фокусами F и .

     Для гиперболы остаются справедливыми также и теоремы Понселе. Именно:

     1) биссектриса угла между двумя фокальными радиусами, проведенными из одного фокуса к двум точкам гиперболы, проходит через точку пересечения касательных к гиперболе, проведенных в данных двух точках (см. Рис. 14, а), и 2) два фокальных радиуса гиперболы, проведенных из фокусов к двум точкам кривой, видны из точки пересечения касательных в этих точках под равными или дополнительными углами (см. Рис. 14, б). Доказательства этих теорем во всем аналогичны приведенным доказательствам теорем Понселе для эллипса.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-