Отразив один фокус гиперболы относительно всевозможных его касательных, получим точки, расстояния которых до другого фокуса равны 2a (см. Рис. 11). Следовательно, эти точки лежат на одной окружности радиуса 2a с центром в другом фокусе. Эта окружность называется направляющей окружностью гиперболы. Таких окружностей имеется две.

     Точно так же множество оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса гиперболы на ее касательные, есть окружность радиуса a, построенная на действительной оси гиперболы как на диаметре (см. Рис. 12).

     Докажем еще, что произведение расстояний от фокусов гиперболы до ее касательной не зависит от выбора этой касательной и равно квадрату мнимой полуоси гиперболы. Действительно, опустим из фокусов F и перпендикуляры FH и на касательную t к гиперболе в точке M (см. Рис. 13).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-