Пример 8. Функция y = tg x устанавливает эквивалентность интервала

множеству всех действительных чисел.

     Пример 9. Считая соответствующими друг другу числа, стоящие одно под другим в следующих строках:

               1,       2,       3, ..., n     , ...,
               2,       4,       6, ..., 2n   , ...,
               1,       3,       5, ..., 2n-1, ...,
               10, 100, 1000, ..., 10ⁿ , ...,
               2,       3,       5, ..., p_n    , ... (p_n - n-е - простое число),

заключаем, что множества всех натуральных чисел, четных чисел, нечетных чисел, степеней 10, простых чисел все имеют одну и ту же мощность, хотя первая из них является собственным надмножеством остальных.

     Пример 10. Множество натуральных чисел равномощно множеству рациональных чисел. В самом деле, любое рациональное число, отличное от нуля, однозначно записывается в виде несократимой дроби , где принято q > 0 (т. е. знак отнесен к числителю).

     Из возможных записей для нуля: выберем одну: . Тогда запись вида однозначно определена для всех рациональных чисел (в частности, при q = 1 получатся все целые числа).

     Высотой числа назовем натуральное число |p| + q, где |p| - абсолютная величина p. Тогда все рациональные числа можно расположить в одну последовательность, располагая их в порядке возрастания высоты, а числа с одинаковой высотой - в порядке возрастания числителя. Таким образом, получим последовательность

     Так чисел данной высоты n - лишь конечное число [именно, не более 2(n - 1), т. к. числитель меняется от -(n - 1) до +(n - 1), исключая значение 0], то перед каждым данным числом в последовательности стоит лишь конечное число чисел. Поэтому, нумеруя числа последовательно по порядку натуральными числами, мы действительно занумеруем все рациональные числа, что и доказывает требуемую равномощность.

-1-2-3-4-5-