Результаты по первому случаю теоремы Ферма разнообразней. Еще в 1823 году А. Лежандр публикует результат С. Жермен: если существует простое число q такое, что сравнение не имеет целых решений , не делящихся на q, и p не является вычетом p-й степени по mod q, то справедлив первый случай теоремы Ферма. Отсюда он показал, что если хотя бы одно из чисел 2kp + 1, , простое, то имеет место первый случай теоремы Ферма. Это предложение выведено для всех . А. Виферих открыл следующий критерий: если , где q(m) = (m^p-1 - 1)/p - частное Ферма, то первый случай теоремы Ферма верен. М. Мириманов доказал это при . В дальнейшем, рядом других авторов первый случай теоремы Ферма был установлен для всех p, для которых , где m - какое-нибудь простое число . Отсюда следует первый случай теоремы Ферма для , где содержат в своих разложениях только простые числа . Вычисления на ЭВМ показали, что среди чисел только два: p = 1093 и p = 3511 удовлетворяют условию p|q(2), но для них . Это доказывает первый случай теоремы Ферма для всех . Ф. Фуртвенглер на основе закона взаимности Эйзенштейна довольно просто повторил результаты А. Вифериха и М. Мириманова. Он доказал также, что если x, y, z решение уравнения (1) и (x, y) = 1, то p|q(r), где r|x, но , или r|y, но , или , но .

     Известно много других различных критериев для первого случая теоремы Ферма, которые связаны с разрешимостью определенных сравнений или с существованием простых чисел определенного вида, но неизвестно, бесконечно ли число простых чисел p, для который первый случай теоремы Ферма справедлив. Следует отметить, что уравнение x^2p + y^2p = z^2p неверно, если 2p не делит ни x, ни y. Контрпример к теореме Ферма практически привести невозможно. К. Инкери показал, что если целые числа x, y, z, 0 < x < y < z удовлетворяют уравнению (1), то , а в первом случае: .

     Теорема Ферма может быть сформулирована так: для любого натурального числа n > 2 на кривой Ферма xⁿ + yⁿ = 1 нет рациональных точек, кроме тривиальных . Рациональные точки на кривой Ферма исследуются методами алгебраической геометрии. Этими методами доказано, что число рациональных точек на кривой Ферма во всяком случае конечно, что следует из гипотезы Морделла, доказанной Г. Фалтингсом.

     Уравнение Ферма рассматривается в алгебраических числах, целых функциях, матрицах и т. д. Имеются обобщения теоремы Ферма для уравнений вида xⁿ + yⁿ = Dzⁿ.

-1-2-3-