Во втором случае Э. Куммер доказал теорему ферма при следующих условиях: 1) , где h₁ - первый множитель числа классов идеалов поля (это равносильно требованию, что числитель только одного числа B_2n, где 2n = 2, 4, ..., p - 3, делится на p); 2) ; 3) найдется идеал, по модулю которого единица

не сравнима с p-й степенью целого числа из , где g - первообразный корень по модулю p, а

     Метод Куммера получил широкое развитие во многих работах по теореме Ферма. Из (1) в первом случае установлена выполнимость сравнений (2) для n = 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. М. Краснер при тех же условиях показал, что найдется такое число p₀, что при p > p₀ сравнение (2) верно для всех чисел n = 2k + 1, где .

     Х. Брюкнер доказал, что число чисел B_n, n = 2, 4, ..., p - 3, числители которых делятся на p больше, чем . Пусть . П. Реморов показал, что существуют такие постоянные N_k и M_k, N_k < M_k, что для всех p < N_k, p > M_k, первый случай теоремы Ферма справедлив. М. Айхлер установил, что первый случай теоремы ферма верен при , где H - индекс иррегулярности поля . Г. Вандивер доказал первый случай при , где h₂ - второй множитель числа классов идеалов поля . Интересные результаты по второму случаю теоремы Ферма получены им в "Amer. Math. Monthly", "Trans. Amer. Math. Soc." Например, он показал, что теорема Ферма истинна при следующих условиях: 1) (h₂, p) = 1, 2) , n = 2, 4, ..., p - 3. Наиболее важной является теорема: пусть p - иррегулярное простое число, 2a₁, 2a₂, ..., 2a_s - индексы чисел Бернулли из B₂, B₄, ..., B_p-3, числители которых делятся на p; если ни одна из единиц E_a (a = a₁, a₂, ..., a_s) не сравнима с p-й степенью целого числа из по , где - простой идеал, делитель простого числа q < p² - p и , то теорема Ферма верна. Отсюда Г. Вандивер получил эффективно проверяемый критерий для иррегулярных простых чисел, с помощью которого на ЭВМ доказана теорема Ферма для всех p < 125000.

-1-2-3-