Тензоры в евклидовом пространстве

     Из аксиом евклидова пространства следует, что оно может быть определено как такое линейное пространство, в котором задана положительно-определенная квадратичная форма. Другими словами, евклидово пространство - это такое линейное пространство, в котором задан симметрический тензор g_ij типа , такой, что g_ijxⁱx^j > 0 для всех ненулевых векторов.

     Терзор g_ij называется фундаментальным метрическим тензором пространства. Если - базис пространства E_n, то . Числа x_i = g_ikx^k (свертка метрического тензора с вектором ) называются ковариантными координатами вектора в отличие от его контравариантных координат xⁱ. Ковариантные координаты - это проекции вектора на базисные векторы, ибо . В ортонормированном базисе x_i = xⁱ.

     Компоненты матрицы g^ij, обратной матрице g_ij, образуют дважды контравариантный тензор, называемый контравариантным метрическим тензором. Справедливы формулы x^j = g^ijx_i.

     Переход от контравариантных координат вектора к его ковариантным координатам по формулам x_i = g_ikx^k называют опусканием индекса, а переход от ковариантных координат к контравариантным по формулам x^j = g^ijx_i - поднятием индекса.

     Операцию опускания или поднятия индекса в евклидовом пространстве применяют к тензорам любого строения. Например, .

-1-2-