Докажем, что и в общем случае, когда прямая g не параллельна f, эта прямая содержит кроме M единственную точку M' эллипса E, которая может и совпасть с точкой M. Сначала рассмотрим случай, когда прямая g не проходит через фокус F (см. Рис. 4).

Обозначим точку пересечения прямых g и f через G и построим прямую g₁, симметричную прямой MF относительно FG. Прямые g и g₁ пересекаются: в самом деле, если бы прямые g и g₁ были параллельными, то треугольник MFG был бы равнобедренным, т. е. мы имели бы MF = MG (см. Рис. 5, а), причем MG ≥ MP, и, значит, , что противоречит определению эллипса.

Обозначим точку пересечения прямых g и g₁ через M'; очевидно, что d : d' = MP : M'P' = MG : M'G. С другой стороны, FG является по построению биссектрисой внешнего угла треугольника FMM' при вершине F, и поэтому MG : M'G = r : r'. Значит d : d' = r : r' и, следовательно, точка M' также принадлежит эллипсу E. Если, однако, прямые MF и FG перпендикулярны (см. Рис. 5, б), то g₁ совпадает с MF и точка M' совпадает с M.

     Остается еще доказать, что на прямой g нет отличной от M и M' точки эллипса. Допустим противное, а именно, пусть эллипсу E принадлежат точки M, M', M" прямой g. Нетрудно видеть, что в этом случае прямая FG будет являться биссектрисой внешнего угла для трех треугольников FMM', FM'M" и FM"M и прямая FM будет симметрична с двумя прямыми FM' и FM" относительно одной прямой FG, что невозможно.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-