Очевидно, что прямая y параллельна MM' и проходит через середину O стороны M'M" прямоугольного треугольника MM'M" (с прямым углом при вершине M). Следовательно, прямая y перпендикулярна к отрезку M"M и проходит через его середину, т. е. точки M и M" симметричны относительно прямой y. Иначе говоря, прямая y является второй осью симметрии эллипса.

     Найдем точки эллипса, принадлежащие оси симметрии y. Пусть B - такая точка; тогда для нее d = d₀ = p: (1 - ε²). Из соотношения r:d = ε находим:

BF = r = d₀ε = pε: (1 - ε²).

     С другой стороны,

Следовательно, BF = a, т. е. точка B прямой y в том и только в том случае принадлежит эллипсу, если BF = a. Но расстояние от центра O до фокуса F - оно называется фокусным расстоянием и обозначается через c - меньше большой полуоси: c < a, так как точка F лежит между O и A₁. Это значит, что на прямой y существуют две точки B₁ и B₂, расположенные на эллипсе симметрично относительно x. Эти точки также называются вершинами эллипса, а отрезок B₁B₂ = 2b - малой осью эллипса.

     Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно к его большой оси, является второй осью симметрии эллипса. На этой оси расположены две точки эллипса, называемые вершинами эллипса и являющиеся концами его малой оси. Расстояние каждой из этих вершин до фокуса равно большой полуоси эллипса.

     Пусть точка и прямая симметричны F и f относительно прямой y. Примем за фокус и за директрису эллипса с эксцентриситетом ε = ε. Если точка M принадлежит эллипсу E, то MF:MP = ε. Для точки , симметричной M относительно оси y, мы имеем . Это значит, что точка принадлежит эллипсу . Но, согласно доказанному выше, точка принадлежит также и эллипсу E; следовательно, каждая точка эллипса принадлежит эллипсу E (и наоборот), т. е. эллипсы и E совпадают. Мы видим, что точка и прямая, симметричные с фокусом и директрисой эллипса относительно его малой оси, могут быть приняты за второй фокус и вторую директрису, определяющие при том же эксцентриситете тот же самый эллипс.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-