Следовательно,

     Таким образом, нормаль к эллипсу в данной точке делит отрезок, заключенный между центром и проекцией этой точки на большую ось эллипса, в постоянном отношении, равном c²: b².

     Пусть точке M отвечает (при растяжении эллипса) точка M' описанной окружности и пусть нормаль NM в точке M пересекает продолжение радиуса OM' в точке Q. Докажем, что OQ = a + b. Применим теорему Менелая к треугольнику OM'M₁ и секущей QN:

где

Следовательно,

После упрощений получаем OQ = a + b.

     Итак, если при сжатии точке M' описанной около эллипса окружности соответствует точка M эллипса, то нормали в этих точках к соответствующим кривым пересекаются в точке, расположенной на окружности радиуса a + b с центром в центре эллипса.

     Пусть теперь нормаль к эллипсу в точке M пересекает малую ось эллипса в точке S. Найдем предельное положение S₀ точки S, когда точка M приближается вдоль эллипса к вершине B малой оси. Продолжим нормаль до пересечения в точке Q с окружностью радиуса a + b с центром в точке O, и пусть прямая OQ пересекает описанную около эллипса окружность в точке M'. Тогда имеет место пропорция QM : MS = QM': M'O = b : a. Когда точка M приближается к точке B, то QM → a и BS₀ = a²: b. Это и есть радиус соприкасающейся окружности к эллипсу в вершине малой оси. Аналогично находим, что b²: a есть радиус соприкасающейся окружности в вершине большой оси эллипса.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-