Из четырех общих точек соприкасающейся окружности и эллипса три точки совпадают с точкой A (A ≡ B ≡ C). Согласно предыдущей теореме, прямые AB и CD₀ должны образовать равные внутренние односторонние углы с осью эллипса; но в данном случае прямая AB есть касательная t к эллипсу в точке A; поэтому угол наклона прямой CD₀ ≡ AD₀ к оси эллипса равен углу наклона касательной t. Это позволяет легко построить точку D₀, а затем соприкасающуюся окружность: соприкасающаяся окружность эллипса в точке A проходит через точку D₀ и касается прямой t в точке A.

     Указанное построение неприменимо, если точка A совпадает с одной из вершин эллипса, так как в этом случае точка D₀ также совпадает с A. Для того чтобы построить соприкасающуюся окружность к эллипсу, скажем, в вершине B малой оси, потребуется рассмотреть некоторые свойства нормали к эллипсу.

     Нормалью к эллипсу в данной точке M называется прямая, перпендикулярная к касательной к эллипсу в этой точке.

     Пусть нормаль к эллипсу в точке M пересекает ось x в точке N (см. Рис. 29).

Докажем, что отношение ON : NM₁, где M₁ - проекция точки M на ось x, есть величина постоянная. Из треугольника с высотой MM₁ и биссектрисой MN находим:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-